Cálculo Ejemplos

$x (y^{2} - 4) d x + y d y = 0$

Paso 1

Resta $x (y^{2} - 4) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$y d y = - x (y^{2} - 4) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2} - 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 4} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 2^{2}} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Paso 3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{(y + 2) (y - 2)}$ y $y$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - \frac{1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y^{2} - 4$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y^{2} - 4}$ al numerador.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y^{2} - 4$ de $x (y^{2} - 4)$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - x d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \int - x d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u = (y + 2) (y - 2)$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u = (y + 2) (y - 2)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 2) (y - 2)]$

Paso 4.2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y + 2$ y $g (y) = y - 2$ .

$(y + 2) \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 4.2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$(y + 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 4.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(y + 2) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 4.2.1.1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(y + 2) (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 4.2.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(y + 2) \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 4.2.1.1.3.4.2

Multiplica $y + 2$ por $1$ .

$y + 2 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 4.2.1.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$y + 2 + (y - 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

Paso 4.2.1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + \frac{d}{d y} [2])$

Paso 4.2.1.1.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + 0)$

Paso 4.2.1.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$y + 2 + (y - 2) \cdot 1$

Paso 4.2.1.1.3.8.2

Multiplica $y - 2$ por $1$ .

$y + 2 + y - 2$

Paso 4.2.1.1.3.8.3

Suma $y$ y $y$ .

$2 y + 2 - 2$

Paso 4.2.1.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.1.1.3.8.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$2 y + 0$

Paso 4.2.1.1.3.8.4.2

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - x d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - x d x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - x d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - x d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - x d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - x d x$

Paso 4.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = \int - x d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \int x d x$

Paso 4.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 4.3.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |))$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Expande $(y + 2) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Combina los términos opuestos en $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1.1

Reordena los factores en los términos $y \cdot - 2$ y $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.2

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.3

Suma $y \cdot y$ y $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.2.2.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 4 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1.1.2.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| y^{2} - 4 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + C)$

Paso 5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{2}$ al numerador.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y^{2} - 4 |)} = e^{- x^{2} + 2 C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + 2 C} = | y^{2} - 4 |$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$ .

$| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$

Paso 5.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 4 = \pm e^{- x^{2} + 2 C}$

Paso 5.5.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4$

Paso 5.5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + C} + 4}$

Paso 6.2

Reescribe $e^{- x^{2} + C}$ como $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2}} e^{C} + 4}$

Paso 6.3

Reordena $e^{- x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- x^{2}} + 4}$

Paso 6.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C e^{- x^{2}} + 4}$