Cálculo Ejemplos

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

Paso 1

Sea $v = \frac{d y}{d x}$ . Luego $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sustituye $v$ por $\frac{d y}{d x}$ y $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obtener una ecuación diferencial con variable dependiente $v$ y variable independiente $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

Paso 2

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 2.1

Divide cada término en $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Paso 2.2.2

Divide $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Paso 2.3.2

Divide $6$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

Paso 2.4

Factoriza $v$ de $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

Paso 2.5

Reordena $v$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

Paso 3

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Paso 3.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 3.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Paso 3.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 3.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

Paso 3.2.3

Simplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

Paso 3.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (x)}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{2})}$

Paso 3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{2}$

Paso 4

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 4.1

Multiplica cada término por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{2}{x}$ y $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

Paso 4.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

Paso 4.3

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

Paso 5

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

Paso 6

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

Paso 7

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

Paso 8

Integra el lado derecho.

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Paso 8.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Paso 8.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Paso 8.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Paso 8.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

Paso 9

Divide cada término en $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{2}$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Paso 9.3.1.2.4

Divide $2 x$ por $1$ .

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Paso 11

Reescribe la ecuación.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

Paso 12

Integra ambos lados.

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Paso 12.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Paso 12.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Paso 12.3

Integra el lado derecho.

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Paso 12.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Paso 12.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Paso 12.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Paso 12.3.4

Dado que $C_{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $C_{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 12.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 12.3.5.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 12.3.5.2

Simplifica.

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Paso 12.3.5.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 12.3.5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 12.3.5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 12.3.5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

Paso 12.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

Paso 12.3.7

Simplifica.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

Paso 12.3.8

Reordena los términos.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

Paso 12.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$