Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = a (\frac{1}{5} - \frac{x}{500})$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} (a (\frac{1}{5} - \frac{x}{500}))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ de $a (\frac{1}{5} - \frac{x}{500})$ .

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} ((\frac{1}{5} - \frac{x}{500}) a)$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} ((\frac{1}{5} - \frac{x}{500}) a)$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} \frac{d x}{d t} = a$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} d x = a d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{1}{5} - \frac{x}{500}} d x = \int a d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = \frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{500} d x$ , de modo que $- 500 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = \frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} - \frac{x}{500}]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{500}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{500}]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{500}]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{500}]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- \frac{1}{500}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{500}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{500} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{500} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{500} \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{500}$

Paso 2.2.1.1.4

Resta $\frac{1}{500}$ de $0$ .

$- \frac{1}{500}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{500}} d u = \int a d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{500}} d u = \int a d t$

Paso 2.2.2.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{500}} d u = \int a d t$

Paso 2.2.2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{500}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 500) d u = \int a d t$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $500$ por $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 500 d u = \int a d t$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $500$ por $- 1$ .

$\int - 500 \frac{1}{u} d u = \int a d t$

Paso 2.2.2.6

Combina $- 500$ y $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 500}{u} d u = \int a d t$

Paso 2.2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{500}{u} d u = \int a d t$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{500}{u} d u = \int a d t$

Paso 2.2.4

Dado que $500$ es constante con respecto a $u$ , mueve $500$ fuera de la integral.

$- (500 \int \frac{1}{u} d u) = \int a d t$

Paso 2.2.5

Multiplica $500$ por $- 1$ .

$- 500 \int \frac{1}{u} d u = \int a d t$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- 500 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int a d t$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$- 500 \ln (| u |) + C_{1} = \int a d t$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{5} - \frac{x}{500}$ .

$- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) + C_{1} = \int a d t$

Paso 2.2.9

Reordena los términos.

$- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) + C_{1} = \int a d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) + C_{1} = a t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) = a t + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) = a t + C$ por $- 500$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) = a t + C$ por $- 500$ .

$\frac{- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |)}{- 500} = \frac{a t}{- 500} + \frac{C}{- 500}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 500$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 500 \ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |)}{- 500} = \frac{a t}{- 500} + \frac{C}{- 500}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |)$ por $1$ .

$\ln (| \frac{1}{5} - \frac{1}{500} x |) = \frac{a t}{- 500} + \frac{C}{- 500}$

Paso 3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{1}{500}$ .

$\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) = \frac{a t}{- 500} + \frac{C}{- 500}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) = - \frac{a t}{500} + \frac{C}{- 500}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) = - \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}$

Paso 3.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |)} = e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |) = - \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} = | \frac{1}{5} - \frac{x}{500} |$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} | = e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$ .

$| \frac{1}{5} - \frac{x}{500} | = e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$\frac{1}{5} - \frac{x}{500} = \pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$

Paso 3.4.3

Resta $\frac{1}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x}{500} = \pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5}$

Paso 3.4.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 500$ .

$- 500 (- \frac{x}{500}) = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Paso 3.4.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.4.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.5.1.1

Simplifica $- 500 (- \frac{x}{500})$ .

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Paso 3.4.5.1.1.1

Cancela el factor común de $500$ .

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Paso 3.4.5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{500}$ al numerador.

$- 500 \frac{- x}{500} = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Paso 3.4.5.1.1.1.2

Factoriza $500$ de $- 500$ .

$500 (- 1) \frac{- x}{500} = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Paso 3.4.5.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$500 \cdot - 1 \frac{- x}{500} = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Paso 3.4.5.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Paso 3.4.5.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.4.5.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Paso 3.4.5.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$

Paso 3.4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.5.2.1

Simplifica $- 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}} - \frac{1}{5})$ .

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Paso 3.4.5.2.1.1

Para escribir $\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$x = - 500 ((\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 3.4.5.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.5.2.1.2.1

Combina $\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$ y $\frac{5}{5}$ .

$x = - 500 (\frac{(\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 3.4.5.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = - 500 \frac{(\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5 - 1}{5}$

Paso 3.4.5.2.1.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.4.5.2.1.2.3.1

Factoriza $5$ de $- 500$ .

$x = 5 (- 100) \frac{(\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5 - 1}{5}$

Paso 3.4.5.2.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$x = 5 \cdot - 100 \frac{(\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5 - 1}{5}$

Paso 3.4.5.2.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$x = - 100 ((\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) \cdot 5 - 1)$

Paso 3.4.5.2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}$ .

$x = - 100 (5 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) - 1)$

Paso 3.4.5.2.1.4

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.4.5.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 100 (5 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}})) - 100 \cdot - 1$

Paso 3.4.5.2.1.4.2

Multiplica.

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Paso 3.4.5.2.1.4.2.1

Multiplica $5$ por $- 100$ .

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) - 100 \cdot - 1$

Paso 3.4.5.2.1.4.2.2

Multiplica $- 100$ por $- 1$ .

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} - \frac{C}{500}}) + 100$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500} + C}) + 100$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- \frac{a t}{500} + C}$ como $e^{- \frac{a t}{500}} e^{C}$ .

$x = - 500 (\pm e^{- \frac{a t}{500}} e^{C}) + 100$

Paso 4.3

Reordena $e^{- \frac{a t}{500}}$ y $e^{C}$ .

$x = - 500 (\pm e^{C} e^{- \frac{a t}{500}}) + 100$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$x = - 500 (C e^{- \frac{a t}{500}}) + 100$