Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 3 (y + x^{2}) = \frac{\sin (x)}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y + 3 x^{2} = \frac{\sin (x)}{x}$

Paso 1.1.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{\sin (x)}{x} - 3 x^{2}$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$

Paso 1.2

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x}{1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.4.2.5

Divide $- 3 x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{3}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{3})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{3}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{3}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{3}{x}$ y $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{3} x + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1

Mueve $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{1 + 3} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.3.2

Cancela el factor común.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{2} \frac{\sin (x)}{x}$

Paso 3.3.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Paso 3.3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2} \sin (x)$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x}$

Paso 3.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

Paso 3.3.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.3

Cancela el factor común.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x \sin (x)}{1}$

Paso 3.3.5.2.5

Divide $x \sin (x)$ por $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

Paso 7.2

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$x^{3} y = - 3 \int x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

Paso 7.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x \sin (x) d x$

Paso 7.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Paso 7.5

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Paso 7.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Paso 7.7

Simplifica.

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Paso 7.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Paso 7.7.2

Multiplica $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Paso 7.8

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Paso 7.9

Simplifica.

$x^{3} y = - \frac{3 x^{5}}{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Paso 7.10

Reordena los términos.

$x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{3}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $- \frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $- \frac{3}{5} x^{2}$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot x^{2}}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $x$ de $- x \cos (x)$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$