Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{\ln (y)}{y}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combina $x$ y $\frac{y}{\ln (y)}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $\ln (y)$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = \ln (y)$ . Entonces $d u = \frac{1}{y} d y$ , de modo que $y d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = \ln (y)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Paso 2.2.1.1.2

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u d u = \int x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (y)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln^{2} (y)$ .

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.3.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.3.2.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Paso 3.3.2.3

Reescribe $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la ecuación como $y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Paso 3.3.2.5

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.3.2.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Paso 3.3.2.7

Reescribe $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Paso 3.3.2.8

Reescribe la ecuación como $y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .