Cálculo Ejemplos

$(y^{2} - y) \frac{d y}{d x} = x + \ln (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$(y^{2} - y) d y = (x + \ln (x)) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} - y d y = \int x + \ln (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{2} d y + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - \int y d y = \int x + \ln (x) d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x + \ln (x) d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x + \ln (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \ln (x) d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \ln (x) d x$

Paso 2.3.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (x) x - x + C_{6}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + K$