Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x = x^{2} y^{2} d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$x^{2} y^{2} d y = (x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{3} - 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{y^{3} - 1}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3.3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y^{3} - 1$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $y^{3} - 1$ de $x^{2} (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y^{3} - 1$ de $(x^{2} + 1) (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Entonces $d u = 3 y^{2} d y$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + y + 1)]$

Paso 4.2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y - 1$ y $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 4.2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 4.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 4.2.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 4.2.1.1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 4.2.1.1.3.5

Suma $2 y + 1$ y $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 4.2.1.1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Paso 4.2.1.1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])$

Paso 4.2.1.1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + 0)$

Paso 4.2.1.1.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1.3.9.1

Suma $1$ y $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot 1$

Paso 4.2.1.1.3.9.2

Multiplica $y^{2} + y + 1$ por $1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4

Simplifica.

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Paso 4.2.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4

Combina los términos.

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Paso 4.2.1.1.4.4.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.8

Suma $- 2 y$ y $y$ .

$2 y^{2} - y - 1 + y^{2} + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.9

Suma $2 y^{2}$ y $y^{2}$ .

$3 y^{2} - y - 1 + y + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.10

Suma $- y$ y $y$ .

$3 y^{2} + 0 - 1 + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.11

Suma $3 y^{2}$ y $0$ .

$3 y^{2} - 1 + 1$

Paso 4.2.1.1.4.4.12

Suma $- 1$ y $1$ .

$3 y^{2} + 0$

Paso 4.2.1.1.4.4.13

Suma $3 y^{2}$ y $0$ .

$3 y^{2}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Paso 4.3.2

Multiplica $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3.2

Simplifica $x^{0}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + 1 x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3.3

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + x^{- 2} d x$

Paso 4.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int d x + \int x^{- 2} d x$

Paso 4.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{- 2} d x$

Paso 4.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} - x^{- 1} + C_{3}$

Paso 4.3.7

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) = x - \frac{1}{x} + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Expande $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Combina los términos opuestos en $y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1.1

Reordena los factores en los términos $y \cdot 1$ y $- 1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + 1 y - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.2

Resta $1 y$ de $1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} + 0 - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.3

Suma $y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2}$ y $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.2.2.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.2.2.1.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.2.2.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1} y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1 + 2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2.3

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1.1.2.3.1

Combina los términos opuestos en $y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1$ .

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Paso 5.2.1.1.2.3.1.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + 0 - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3.1.2

Suma $y^{3}$ y $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| y^{3} - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $3 (x - \frac{1}{x} + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + 3 (- \frac{1}{x}) + 3 C$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $3 (- \frac{1}{x})$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - 3 \frac{1}{x} + 3 C$

Paso 5.2.2.1.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + \frac{- 3}{x} + 3 C$

Paso 5.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y^{3} - 1 |)} = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} = | y^{3} - 1 |$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$ .

$| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Paso 5.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{3} - 1 = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Paso 5.5.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{3} = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1$

Paso 5.5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.5.1

Para escribir $3 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.5.3.1

Factoriza $3$ de $3 x \cdot x - 3$ .

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Paso 5.5.5.3.1.1

Factoriza $3$ de $3 x \cdot x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.3.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) + 3 (- 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.3.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x \cdot x) + 3 (- 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x^{1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1 + 1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.3.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.3.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Paso 5.5.5.4

Para escribir $3 C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{3 C x}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.5.6.1

Factoriza $3$ de $3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x$ .

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Paso 5.5.5.6.1.1

Factoriza $3$ de $3 (x + 1) (x - 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 C x}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.1.2

Factoriza $3$ de $3 C x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.1.3

Factoriza $3$ de $3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.5.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x (x - 1) + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.5.5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.5.6.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + 0 - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Paso 5.5.5.6.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 + C x)}{x}} + 1}$