Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y$

Paso 1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 3 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 2 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (3 x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (3 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 x e^{- 2 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 3 x e^{- 2 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 2 x} y = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = 3 \int x e^{- 2 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 7.3.3

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 7.5.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 7.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Paso 7.7

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.7.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.7.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 7.7.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 7.7.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 7.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Paso 7.8.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 7.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Paso 7.10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Paso 7.11

Simplifica.

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Paso 7.11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 7.11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 7.12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 7.13

Simplifica.

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Paso 7.13.1

Reescribe $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2

Simplifica.

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Paso 7.13.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.2

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Paso 7.14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 7.15

Reordena los términos.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Paso 8.1.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Paso 8.1.3

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ por $e^{- 2 x}$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 x}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2}) + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.2

Multiplica $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2})$ .

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Paso 8.2.3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.3

Multiplica $3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4})$ .

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Paso 8.2.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} - 3 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.2.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.5

Para escribir $- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.2.6.1

Multiplica $\frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.2.8.1

Factoriza $3 e^{- 2 x}$ de $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}$ .

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Paso 8.2.3.2.8.1.1

Factoriza $3 e^{- 2 x}$ de $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.8.1.2

Factoriza $3 e^{- 2 x}$ de $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.8.1.3

Factoriza $3 e^{- 2 x}$ de $3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.9

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.10

Combina $C$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x) + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.12.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.12.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.12.4

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.2.12.5

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.4

Multiplica $\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ por $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 6 e^{- 2 x} x$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.8

Factoriza $- 1$ de $4 C$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.3.10.1

Reescribe $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ como $- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ .

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.3.10.3

Reordena los factores en $- \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = - \frac{6 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$