Cálculo Ejemplos

$\ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{x}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{x} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{x} \ln (x) d x = \frac{1}{y} d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (x)$ .

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.2

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.2.2.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u d u = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) = \ln (| y |) + C$