Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x} i$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Combina $\frac{\sqrt{x}}{x}$ y $i$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x} i}{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $i$ es constante con respecto a $x$ , mueve $i$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = i \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.3.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.3.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.3.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Paso 2.3.3.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.3.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.3.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = i \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.3.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.3.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 2.3.3.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = i \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y + C_{1} = 2 i x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 i x^{\frac{1}{2}} + K$