Cálculo Ejemplos

$(2 x + 3) d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

Paso 1

Resta $(2 x + 3) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x^{2} - 1) d y = - (2 x + 3) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 1$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$1 d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 3) d x$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} (2 x + 3) d x$

Paso 3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$1 d y = - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x + 3) d x$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$1 d y = (- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Paso 3.5

Multiplica $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x)$ .

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Paso 3.5.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Paso 3.5.3

Combina $\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ y $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Paso 3.6

Multiplica $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3$ .

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Paso 3.6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - 3 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Paso 3.6.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Paso 3.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Paso 3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.5

Sea $u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.3.5.1

Deja $u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.3.5.1.1

Diferencia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Paso 4.3.5.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.5.1.3

Diferencia.

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Paso 4.3.5.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.5.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.5.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.5.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.5.1.3.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.5.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.3.5.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.3.5.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Paso 4.3.5.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.3.5.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Paso 4.3.5.1.3.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Paso 4.3.5.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Paso 4.3.5.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.3.5.1.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Paso 4.3.5.1.3.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.6

Simplifica.

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Paso 4.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.8

Simplifica.

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Paso 4.3.8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.8.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.9

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.11

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

Paso 4.3.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.13

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.3.13.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.3.13.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 4.3.13.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.3.13.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.3.13.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.13.1.6.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.3.13.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.6.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.6.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.6.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.6.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.3.13.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.13.1.6.5.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Paso 4.3.13.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Paso 4.3.13.1.6.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Paso 4.3.13.1.7

Mueve $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Paso 4.3.13.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.13.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 4.3.13.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A + B$

Paso 4.3.13.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 4.3.13.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.13.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 4.3.13.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Paso 4.3.13.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 4.3.13.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.13.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Paso 4.3.13.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.13.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (- B) + B$ .

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Paso 4.3.13.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 4.3.13.3.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Paso 4.3.13.3.2.2.1.1.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Paso 4.3.13.3.2.2.1.2

Suma $B$ y $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Paso 4.3.13.3.3

Resuelve $B$ en $1 = 2 B$ .

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Paso 4.3.13.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Paso 4.3.13.3.3.2

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.13.3.3.2.1

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 4.3.13.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.13.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.13.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 4.3.13.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 4.3.13.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.13.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.13.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.13.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.13.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.13.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 4.3.13.5

Simplifica.

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Paso 4.3.13.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 4.3.13.5.2

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 4.3.13.5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 4.3.13.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Paso 4.3.13.5.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 4.3.14

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Paso 4.3.15

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Paso 4.3.16

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Paso 4.3.17

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.17.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.17.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.17.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.17.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.17.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.3.17.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.3.17.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Paso 4.3.18

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Paso 4.3.19

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.20

Sea $u_{3} = x - 1$ . Entonces $d u_{3} = d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 4.3.20.1

Deja $u_{3} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.20.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.3.20.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3.20.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3.20.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.3.20.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.3.20.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Paso 4.3.21

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C_{4}))$

Paso 4.3.22

Simplifica.

$y + C_{1} = - \ln (| u_{1} |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Paso 4.3.23

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 4.3.23.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Paso 4.3.23.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Paso 4.3.23.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x - 1$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$