Cálculo Ejemplos

$2 y d x + 3 x d y = 0$

Paso 1

Resta $2 y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x d y = - 2 y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Paso 3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x y} y d x$

Paso 3.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y} y d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $3 \ln (| y |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Paso 5.2.1.1.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

Paso 5.2.1.3

Reordena los factores en $\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ .

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide ${| y |}^{3}$ por $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Paso 5.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

Paso 5.5.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ .

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Paso 5.5.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 5.5.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Paso 5.5.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Paso 5.5.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Paso 5.5.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Paso 5.5.4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Paso 5.5.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ como $x^{2}$ .

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Paso 5.5.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Paso 5.5.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.5.4.3.5.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Paso 5.5.4.3.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Paso 5.5.4.3.5.5

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 5.5.4.3.5.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Paso 5.5.4.3.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.4.3.5.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Paso 5.5.4.3.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Paso 5.5.4.3.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Paso 5.5.4.3.5.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.4.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.5.4.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.4.3

Factoriza $x^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.4.4

Retira los términos de abajo del radical.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.4.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.5.4.5.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.5.4.5.1.1

Factoriza $x$ de $x \sqrt[3]{e^{C} x}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.4.5.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Paso 5.5.4.5.1.2.2

Cancela el factor común.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Paso 5.5.4.5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

Paso 5.5.4.5.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Paso 5.5.5

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$