Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Paso 2.3.3

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$x y = \ln (| x |) + C$

Paso 7

Divide cada término en $x y = \ln (| x |) + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x y = \ln (| x |) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$