Cálculo Ejemplos

$y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ , $y (1) = 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y^{1}}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y}{1}$

Paso 1.3.2.5

Divide $2 y$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = 2 y$

Paso 1.4

Factoriza $x$ de $\frac{- x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 1}{y} = 2 y$

Paso 1.5

Reordena $x$ y $\frac{- 1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 1}{y} x = 2 y$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , donde $P (y) = \frac{- 1}{y}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 1}{y} d y}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 1}{y}$ .

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$e^{- \ln (| y |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (y)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (y^{- 1})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$y^{- 1}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{y}$ y $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (- \frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} (\frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{1}{y}$ y $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{x}{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y \cdot y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.2.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.2.5.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y^{1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1 + 1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2 \frac{1}{y} y$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] = 2$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] d y = \int 2 d y$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{y} x = \int 2 d y$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{y} x = 2 y + C$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{y}$ y $x$ .

$\frac{x}{y} = 2 y + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = (2 y + C) y$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(2 y + C) y$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 2 y \cdot y + C y$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.2.1.2.1

Mueve $y$ .

$x = 2 (y \cdot y) + C y$

Paso 8.3.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$x = 2 y^{2} + C y$

Paso 8.3.2.1.3

Reordena $2 y^{2}$ y $C y$ .

$x = C y + 2 y^{2}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $y$ y de $5$ por $x$ en $x = C y + 2 y^{2}$ .

$5 = C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$ .

$C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica $C$ por $1$ .

$C + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Paso 10.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$C + 2 \cdot 1 = 5$

Paso 10.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$C + 2 = 5$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 5 - 2$

Paso 10.3.2

Resta $2$ de $5$ .

$C = 3$

Paso 11

Sustituye $3$ por $C$ en $x = C y + 2 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $3$ por $C$ .

$x = 3 y + 2 y^{2}$