Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 1 + 4 y^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + 4 y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $1 + 4 y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Factoriza $4$ de $1 + 4 y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $4$ de $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $4$ de $4 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $4$ de $4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + y^{2})} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{1}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.5.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (y \cdot 2) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.5.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.5.2

Reescribe $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1})$ como $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.2.5.3.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.5.3.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.2.5.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (2 y)$ .

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Paso 3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\arctan (2 y) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\arctan (2 y) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$\arctan (2 y) = 2 x + 2 K$

Paso 3.2

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$2 y = \tan (2 x + 2 K)$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\tan (2 x + K)}{2}$