Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$ , $s (0) = 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Paso 2.3.2

Sea $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Entonces $d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $t - \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - \frac{π}{12}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $- \frac{π}{12}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{π}{12}$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.6

Divide la única integral en varias integrales.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.7

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.9

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.9.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.3.9.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 2.3.9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.3.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 2.3.10

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 2.3.11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 2.3.12

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Paso 2.3.13

Simplifica.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Paso 2.3.14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Paso 2.3.14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Paso 2.3.14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Paso 2.3.15

Simplifica.

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Paso 2.3.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.15.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{12}$ al numerador.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2.3

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2.4

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.4

Combina $\sin (2 t - \frac{π}{6})$ y $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.5

Aplica la propiedad distributiva.

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6

Simplifica.

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Paso 2.3.15.6.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.15.6.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{12}$ al numerador.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.1.2

Factoriza $4$ de $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.1.3

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.1.4

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.15.6.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ al numerador.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.2.3

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.2.4

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $4$ por $s$ en $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ .

$4 = 4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 4$ .

$4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 4$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 4$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (0 - \frac{π}{6}) + K = 4$

Paso 4.2.1.1.3

Resta $\frac{π}{6}$ de $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (- \frac{π}{6}) + K = 4$

Paso 4.2.1.1.4

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + K = 4$

Paso 4.2.1.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + K = 4$

Paso 4.2.1.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + K = 4$

Paso 4.2.1.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + K = 4$

Paso 4.2.1.1.7.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$0 - \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + K = 4$

Paso 4.2.1.1.7.3

Cancela el factor común.

$0 - \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + K = 4$

Paso 4.2.1.1.7.4

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{π}{3} - 1 \cdot - 1 + K = 4$

Paso 4.2.1.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 - \frac{π}{3} + 1 + K = 4$

Paso 4.2.1.2

Resta $\frac{π}{3}$ de $0$ .

$- \frac{π}{3} + 1 + K = 4$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{π}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$1 + K = 4 + \frac{π}{3}$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 4 + \frac{π}{3} - 1$

Paso 4.3.3

Resta $1$ de $4$ .

$K = 3 + \frac{π}{3}$

Paso 5

Sustituye $3 + \frac{π}{3}$ por $K$ en $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $3 + \frac{π}{3}$ por $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 3 + \frac{π}{3}$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 3 + \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.2.1

Suma $- \frac{π}{3}$ y $\frac{π}{3}$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 3$

Paso 5.2.2

Suma $4 t$ y $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 3$