Cálculo Ejemplos

$(6 x y - y^{3}) d x + (4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 6 x y - y^{3}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y - y^{3}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x y - y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [6 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $6 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 x y$ con respecto a $y$ es $6 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - (3 y^{2})$

Paso 1.4.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - 3 y^{2}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 6 x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 2.2.2

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2} \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $0$ y $6 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x - 3 y^{2}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 6 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 3 y^{2} + 6 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 3 y^{2} + 6 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 y^{2} + 6 x = - 3 y^{2} + 6 x$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 3 y^{2} + 6 x = - 3 y^{2} + 6 x$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x y - y^{3} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 6 x y - y^{3}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 6 x y d x + \int - y^{3} d x$

Paso 5.2

Dado que $6 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 6 y \int x d x + \int - y^{3} d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{3} d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{3} x + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{3} x + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y x^{2}$ con respecto a $y$ es $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{3} x]$ .

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Paso 8.4.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{3} x$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} - x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8.4.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} - 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} - 3 y^{2} x = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - 3 y^{2} x = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2}$

Paso 9.1.2

Suma $3 y^{2} x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2} + 3 y^{2} x$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2} + 3 y^{2} x$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 x y^{2} + 0 + 3 y^{2} x$

Paso 9.1.3.2

Suma $4 y - 3 x y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 x y^{2} + 3 y^{2} x$

Paso 9.1.3.3

Reordena los factores en los términos $- 3 x y^{2}$ y $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 y^{2} x + 3 y^{2} x$

Paso 9.1.3.4

Suma $- 3 y^{2} x$ y $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

Paso 9.1.3.5

Suma $4 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $4 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Paso 10.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$g (y) = 4 \int y d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + 2 y^{2} + C$