Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (7 x) d x$

Paso 2.3.4

Sea $u = 7 x$ . Entonces $d u = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u = 7 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 2.3.4.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Paso 2.3.4.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$7$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Paso 2.3.5

Combina $\sec^{2} (u)$ y $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{\sec^{2} (u)}{7} d u$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\frac{1}{7} \int \sec^{2} (u) d u)$

Paso 2.3.7

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \frac{1}{7} (\tan (u) + C_{3})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (u) + C_{4}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (7 x) + C_{4}$

Paso 2.3.10

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C$