Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} + 4$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} + 4$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} + 4$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5 x^{3}}{x} + \frac{4}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5 x^{3}}{x} + \frac{4}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{3}}{x} + \frac{4}{x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Factoriza $x$ de $5 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 x^{2})}{x} + \frac{4}{x}$

Paso 1.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4}{x}$

Paso 1.1.3.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4}{x}$

Paso 1.1.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4}{x}$

Paso 1.1.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{1} + \frac{4}{x}$

Paso 1.1.3.1.2.5

Divide $5 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$