Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $2 y - 4$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 1.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 (x) - 4}{2 y - 4}$

Paso 1.2.1.1.2

Reescribe $4$ como $- 2$ más $6$

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + (- 2 + 6) x - 4}{2 y - 4}$

Paso 1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} - 2 x + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x^{2} - 2 x) + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Paso 1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{2 y - 4}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y - 4}$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $2 y - 4$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y) - 4}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y + 2 \cdot - 2}$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 y + 2 \cdot - 2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$

Paso 1.2.3

Multiplica $2 y - 4$ por $\frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))}{2 (y - 2)}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $2 y - 4$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $2$ de $(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Paso 1.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Paso 1.2.5.2

Divide $(3 x - 2) (x + 2)$ por $1$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (3 x - 2) (x + 2)$

Paso 1.2.6

Expande $(3 x - 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x (x + 2) - 2 (x + 2)$

Paso 1.2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 (x + 2)$

Paso 1.2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Paso 1.2.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.7.1.1.1

Mueve $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Paso 1.2.7.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 2 \cdot 2$

Paso 1.2.7.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 4$

Paso 1.2.7.2

Resta $2 x$ de $6 x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x - 4$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(2 y - 4) d y = (3 x^{2} + 4 x - 4) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 y - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int - 4 d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Paso 2.3.7.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + C_{7}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{2} - 4 y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 4 y - x^{3} = 2 x^{2} - 4 x + K$

Paso 3.1.2

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} = - 4 x + K$

Paso 3.1.3

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x = K$

Paso 3.1.4

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Reescribe $- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))$ .

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Paso 3.4.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$