Cálculo Ejemplos

$x d y + (2 y - 10 x^{2}) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 y - 10 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 10 x^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y - 10 x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 10 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 10 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 = 1$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $x$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x$ por $N$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Paso 5.3.2

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Paso 6.1

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.2.1

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Paso 6.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$ por el factor integrador $x$ .

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Paso 7.1

Multiplica $2 y - 10 x^{2}$ por $x$ .

$(2 y - 10 x^{2}) x d x + x d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 y x - 10 x^{2} x) d x + x d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.1

Mueve $x$ .

$(2 y x - 10 (x \cdot x^{2})) d x + x d y = 0$

Paso 7.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 y x - 10 (x^{1} x^{2})) d x + x d y = 0$

Paso 7.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 y x - 10 x^{1 + 2}) d x + x d y = 0$

Paso 7.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x \cdot x d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x^{2} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = x^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 12.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Paso 12.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 10 x^{3}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$

Paso 13.1.2

Combina los términos opuestos en $2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$ .

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Paso 13.1.2.1

Reordena los factores en los términos $2 y x$ y $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 10 x^{3} - 2 x y$

Paso 13.1.2.2

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3} + 0$

Paso 13.1.2.3

Suma $- 10 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- 10 x^{3}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 10 x^{3} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 10 x^{3} d x$

Paso 14.3

Dado que $- 10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 10$ fuera de la integral.

$g (x) = - 10 \int x^{3} d x$

Paso 14.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 14.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.5.1

Reescribe $- 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $- 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Paso 14.5.2

Simplifica.

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Paso 14.5.2.1

Combina $- 10$ y $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{- 10}{4} x^{4} + C$

Paso 14.5.2.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $4$ .

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Paso 14.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$g (x) = \frac{2 (- 5)}{4} x^{4} + C$

Paso 14.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Paso 14.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Paso 14.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \frac{- 5}{2} x^{4} + C$

Paso 14.5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (x) = - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Paso 16

Simplifica cada término.

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Paso 16.1

Combina $x^{4}$ y $\frac{5}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{4} \cdot 5}{2} + C$

Paso 16.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5 x^{4}}{2} + C$