Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 5} y = {(x - 5)}^{2}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x - 5}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x - 5} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{1}{x - 5}$ .

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Paso 1.2.1

Sea $u = x - 5$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.2.1.1

Deja $u = x - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.2.1.1.1

Diferencia $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.1.1.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Paso 1.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$e^{\ln (| x - 5 |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x - 5)}$

Paso 1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x - 5$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x - 5$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x - 5$ .

$(x - 5) \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Paso 2.2.2

Combina $\frac{1}{x - 5}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Paso 2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Paso 2.3

Multiplica $x - 5$ por ${(x - 5)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Multiplica $x - 5$ por ${(x - 5)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1 + 2}$

Paso 2.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{3}$

Paso 2.4

Usa el teorema del binomio.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Paso 2.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Paso 2.5.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Paso 2.5.3

Multiplica $25$ por $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Paso 2.5.4

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(x - 5) y] = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 5) y] d x = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$(x - 5) y = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$(x - 5) y = \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Paso 6.3

Dado que $- 15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 15$ fuera de la integral.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 \int x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Paso 6.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Paso 6.5

Dado que $75$ es constante con respecto a $x$ , mueve $75$ fuera de la integral.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 \int x d x + \int - 125 d x$

Paso 6.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 125 d x$

Paso 6.7

Aplica la regla de la constante.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

Paso 6.8

Simplifica.

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Paso 6.8.1

Simplifica.

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Paso 6.8.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

Paso 6.8.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 125 x + C$

Paso 6.8.2

Simplifica.

$(x - 5) y = \frac{x^{4}}{4} - 5 x^{3} + \frac{75 x^{2}}{2} - 125 x + C$

Paso 6.8.3

Reordena los términos.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$

Paso 7

Divide cada término en $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ por $x - 5$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ por $x - 5$ .

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y = \frac{\frac{x^{4}}{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $\frac{x^{4}}{4}$ por $\frac{1}{x - 5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.1.5

Combina $\frac{75}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75 x^{2}}{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.1.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.1.7

Multiplica $\frac{75 x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x - 5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.2

Para escribir $- \frac{5 x^{3}}{x - 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4 (x - 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $\frac{5 x^{3}}{x - 5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.3.2

Reordena los factores de $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.5.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4$ .

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Paso 7.3.5.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.5.1.2

Factoriza $x^{3}$ de $- 5 x^{3} \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.5.1.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.5.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.6

Para escribir $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $4 (x - 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.7.1

Multiplica $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{2 (x - 5) \cdot 2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.9.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.3.9.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} (x - 20)$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.9.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $75 x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.9.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20) + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.9.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.9.4

Mueve $- 20$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 \cdot x + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.9.5

Multiplica $75$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.10

Para escribir $- \frac{125 x}{x - 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.11

Escribe cada expresión con un denominador común de $4 (x - 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.11.1

Multiplica $\frac{125 x}{x - 5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.11.2

Reordena los factores de $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.13.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4$ .

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Paso 7.3.13.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.1.2

Factoriza $x$ de $- 125 x \cdot 4$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.1.3

Factoriza $x$ de $x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150) - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x (x \cdot x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.3

Simplifica.

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Paso 7.3.13.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.13.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.3.13.3.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x (x^{1} x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x (x^{1 + 2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.3.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{x (x^{3} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.3.3

Mueve $150$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.13.4.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 (x \cdot x) + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.5

Multiplica $- 125$ por $4$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.13.6

Factoriza $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.3.13.6.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

$q = \pm 1$

Paso 7.3.13.6.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

Paso 7.3.13.6.3

Sustituye $10$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $10$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.3.13.6.3.1

Sustituye $10$ en el polinomio.

$10^{3} - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

Paso 7.3.13.6.3.2

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$1000 - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

Paso 7.3.13.6.3.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$1000 - 20 \cdot 100 + 150 \cdot 10 - 500$

Paso 7.3.13.6.3.4

Multiplica $- 20$ por $100$ .

$1000 - 2000 + 150 \cdot 10 - 500$

Paso 7.3.13.6.3.5

Resta $2000$ de $1000$ .

$- 1000 + 150 \cdot 10 - 500$

Paso 7.3.13.6.3.6

Multiplica $150$ por $10$ .

$- 1000 + 1500 - 500$

Paso 7.3.13.6.3.7

Suma $- 1000$ y $1500$ .

$500 - 500$

Paso 7.3.13.6.3.8

Resta $500$ de $500$ .

$0$

Paso 7.3.13.6.4

Como $10$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 10$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500}{x - 10}$

Paso 7.3.13.6.5

Divide $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ por $x - 10$ .

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Paso 7.3.13.6.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$10$

$x^{3}$

$20 x^{2}$

$150 x$

$500$

Paso 7.3.13.6.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$

Paso 7.3.13.6.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			+	$x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Paso 7.3.13.6.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 10 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Paso 7.3.13.6.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Paso 7.3.13.6.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

Paso 7.3.13.6.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 10 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

Paso 7.3.13.6.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$100 x$

Paso 7.3.13.6.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 10 x^{2} + 100 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$

Paso 7.3.13.6.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$

Paso 7.3.13.6.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

Paso 7.3.13.6.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $50 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

Paso 7.3.13.6.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							+	$50 x$	-	$500$

Paso 7.3.13.6.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $50 x - 500$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$

Paso 7.3.13.6.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$
										$0$

Paso 7.3.13.6.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 10 x + 50$

Paso 7.3.13.6.6

Escribe $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ como un conjunto de factores.

$y = \frac{x ((x - 10) (x^{2} - 10 x + 50))}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 7.3.14

Para escribir $\frac{C}{x - 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.3.15

Escribe cada expresión con un denominador común de $4 (x - 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.15.1

Multiplica $\frac{C}{x - 5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4}$

Paso 7.3.15.2

Reordena los factores de $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.3

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 10 \cdot x) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.4

Expande $(x^{2} - 10 x) (x^{2} - 10 x + 50)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.17.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.17.5.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{2 + 2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$y = \frac{x^{4} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{2} x + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.17.5.3.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.3.17.5.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.4

Mueve $50$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 \cdot x^{2} - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.17.5.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.3.17.5.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x^{1}) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{2 + 1} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x \cdot x - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.17.5.7.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 (x \cdot x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.8

Multiplica $- 10$ por $- 10$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.5.9

Multiplica $50$ por $- 10$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.6

Resta $10 x^{3}$ de $- 10 x^{3}$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 50 x^{2} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.7

Suma $50 x^{2}$ y $100 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Paso 7.3.17.8

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + 4 C}{4 (x - 5)}$