Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = (x - 1) y^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de Bernoulli.

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = (x - 1) y^{2}$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = (x - 1) y^{2}$

Paso 2

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- 1}$

Paso 4

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Paso 5

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ con respecto a $x$ .

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Paso 5.1

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 5.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 5.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.1

Multiplica $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 5.4.3.2

Resta $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 5.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 5.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Paso 6

Sustituye $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- 1}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = (x - 1) y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{2}{x} v^{- 1} = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{2}{x} v^{- 1} = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.1.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{2}{x} v^{- 1} = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.2.1.1

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 7.1.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.1.2

Factoriza $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- 1} v^{2} = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.5

Multiplica $v^{- 1}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.2.1.5.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} (v^{2} v^{- 1}) = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{2 - 1} = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.5.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{1} = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.6

Simplifica $- \frac{2}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.7

Combina $v$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.2.1.8

Mueve $2$ a la izquierda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 7.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - (x - 1) {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Paso 7.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = (- x - - 1) {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Paso 7.1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = (- x + 1) {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Paso 7.1.1.3.3.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 7.1.1.3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = (- x + 1) v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Paso 7.1.1.3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = (- x + 1) v^{- 2} v^{2}$

Paso 7.1.1.3.4

Multiplica $v^{- 2}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.3.4.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = (- x + 1) (v^{2} v^{- 2})$

Paso 7.1.1.3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = (- x + 1) v^{2 - 2}$

Paso 7.1.1.3.4.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = (- x + 1) v^{0}$

Paso 7.1.1.3.5

Simplifica $(- x + 1) v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - x + 1$

Paso 7.1.2

Factoriza $v$ de $- \frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - x + 1$

Paso 7.1.3

Reordena $v$ y $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - x + 1$

Paso 7.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Paso 7.2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 7.2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

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Paso 7.2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 7.2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 7.2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 7.2.2.5

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 7.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 7.2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 7.2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} (- x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} (- x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} (- x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.2.3

Combina $\frac{2}{x}$ y $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} (- x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

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Paso 7.3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 v}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (- x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (- x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (- x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (- x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 7.3.3.4

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.7.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.7.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.7.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.7.4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 7.7.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.7.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 7.7.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

Paso 7.7.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

Paso 7.7.6

Simplifica.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

Paso 7.8

Resuelve $v$

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Paso 7.8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 7.8.1.1

Suma $\ln (| x |)$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} v + \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 7.8.1.2

Suma $\frac{1}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} v + \ln (| x |) + \frac{1}{x} = C$

Paso 7.8.1.3

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} v + \ln (| x |) + \frac{1}{x} - C = 0$

Paso 7.8.1.4

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} + \ln (| x |) + \frac{1}{x} - C = 0$

Paso 7.8.2

Mueve todos los términos que no contengan $v$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.8.2.1

Resta $\ln (| x |)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{x^{2}} + \frac{1}{x} - C = - \ln (| x |)$

Paso 7.8.2.2

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{x^{2}} - C = - \ln (| x |) - \frac{1}{x}$

Paso 7.8.2.3

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{x^{2}} = - \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

Paso 7.8.3

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (- \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C) x^{2}$

Paso 7.8.4

Simplifica.

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Paso 7.8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (- \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C) x^{2}$

Paso 7.8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$v = (- \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C) x^{2}$

Paso 7.8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.8.4.2.1

Simplifica $(- \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C) x^{2}$ .

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Paso 7.8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = - \ln (| x |) x^{2} - \frac{1}{x} x^{2} + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.8.4.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$v = - \ln (| x |) x^{2} + \frac{- 1}{x} x^{2} + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$v = - \ln (| x |) x^{2} + \frac{- 1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$v = - \ln (| x |) x^{2} + \frac{- 1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$v = - \ln (| x |) x^{2} - 1 x + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.8.4.2.1.3.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$v = - \ln (| x |) x^{2} - x + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.3.2

Reordena los factores en $- \ln (| x |) x^{2} - x + C x^{2}$ .

$v = - x^{2} \ln (| x |) - x + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.3.3

Mueve $- x^{2} \ln (| x |)$ .

$v = - x + C x^{2} - x^{2} \ln (| x |)$

Paso 7.8.4.2.1.3.4

Reordena $- x$ y $C x^{2}$ .

$v = C x^{2} - x - x^{2} \ln (| x |)$

Paso 8

Sustituye $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = C x^{2} - x - x^{2} \ln (| x |)$