Cálculo Ejemplos

$\frac{d r}{d θ} = - π \cos (π θ)$ , $r (0) = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d r = - π \cos (π θ) d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d r = \int - π \cos (π θ) d θ$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$r + C_{1} = \int - π \cos (π θ) d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- π$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $- π$ fuera de la integral.

$r + C_{1} = - π \int \cos (π θ) d θ$

Paso 2.3.2

Sea $u = π θ$ . Entonces $d u = π d θ$ , de modo que $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = π θ$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $π θ$ con respecto a $θ$ es $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$r + C_{1} = - π \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Paso 2.3.3

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = - π \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$r + C_{1} = - π (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{π}$ y $π$ .

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$r + C_{1} = - 1 \cdot 1 \int \cos (u) d u$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$r + C_{1} = - \int \cos (u) d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$r + C_{1} = - (\sin (u) + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$r + C_{1} = - \sin (u) + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π θ$ .

$r + C_{1} = - \sin (π θ) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$r = - \sin (π θ) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $θ$ y de $2$ por $r$ en $r = - \sin (π θ) + K$ .

$2 = - \sin (π \cdot 0) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \sin (π \cdot 0) + K = 2$ .

$- \sin (π \cdot 0) + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \sin (π \cdot 0) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$- \sin (0) + K = 2$

Paso 4.2.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 0 + K = 2$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + K = 2$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 2$

Paso 5

Sustituye $2$ por $K$ en $r = - \sin (π θ) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $2$ por $K$ .

$r = - \sin (π θ) + 2$