Cálculo Ejemplos

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide cada término en $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ por $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Divide cada término en $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ por $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

Paso 1.1.3.1.2

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

Paso 1.1.3.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

Paso 1.1.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Paso 1.1.3.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Paso 1.1.3.3.2

Eleva $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Paso 1.1.3.3.3

Eleva $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

Paso 1.1.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

Paso 1.1.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ como $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ como ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.1.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

Paso 1.1.3.3.6.5

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sea $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Entonces $d u = - 8 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Deja $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

Paso 2.3.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + 2 x$ y $g (x) = 1 - 2 x$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 2.3.1.1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 2.3.1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 2.3.1.1.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.3.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 2.3.1.1.3.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $1 + 2 x$ .

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 2.3.1.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.1.1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.1.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.1.1.3.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.1.1.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - 2 x$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.3.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Paso 2.3.1.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Paso 2.3.1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Paso 2.3.1.1.4.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.4.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Paso 2.3.1.1.4.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Paso 2.3.1.1.4.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

Paso 2.3.1.1.4.3.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

Paso 2.3.1.1.4.3.5

Suma $- 2$ y $2$ .

$- 4 x + 0 - 4 x$

Paso 2.3.1.1.4.3.6

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$- 4 x - 4 x$

Paso 2.3.1.1.4.3.7

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$- 8 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

Paso 2.3.2.3

Mueve $8$ a la izquierda de $u$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.2.1

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.2.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.3.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.3.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.5.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Reescribe $- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$