Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $y$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.2.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Paso 1.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y}{x}$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{2 y}{x}$

Paso 1.3

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 2$

Paso 1.3.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 2 \cdot \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} + 2 V$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 2 V - V$

Paso 6.1.1.2.2

Resta $V$ de $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x}$

Paso 6.1.2

Factoriza.

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Paso 6.1.2.1

Para escribir $\frac{V}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Paso 6.1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $V x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Multiplica $\frac{V}{x}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{x V}$

Paso 6.1.2.2.2

Reordena los factores de $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{V x}$

Paso 6.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V \cdot V}{V x}$

Paso 6.1.2.4

Multiplica $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Paso 6.1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{V}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.5

Simplifica.

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $\frac{1 + V^{2}}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Paso 6.1.5.2

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.1.5.2.1

Factoriza $V$ de $V x$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V (x)}$

Paso 6.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Paso 6.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Paso 6.1.5.3

Cancela el factor común de $1 + V^{2}$ .

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Paso 6.1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Paso 6.1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Sea $u = 1 + V^{2}$ . Entonces $d u = 2 V d V$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Deja $u = 1 + V^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Diferencia $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Paso 6.2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + V^{2}$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Paso 6.2.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Paso 6.2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Paso 6.2.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 V$ .

$2 V$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + V^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |))$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 + V^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 6.3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Paso 6.3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.4.1

Simplifica $\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Paso 6.3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.4.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Paso 6.3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Paso 6.3.4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Paso 6.3.5

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Paso 6.3.6

Reescribe $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}$

Paso 6.3.7

Resuelve $V$

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Paso 6.3.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Paso 6.3.7.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Paso 6.3.7.3

Simplifica.

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Paso 6.3.7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.3.7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Paso 6.3.7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| 1 + V^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Paso 6.3.7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.7.3.2.1

Reordena los factores en $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + V^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Paso 6.3.7.4

Resuelve $V$

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Paso 6.3.7.4.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Paso 6.3.7.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Paso 6.3.7.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 6.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Paso 6.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$