Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Paso 1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 4 x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x y]$

Paso 2.2

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x y$ con respecto a $x$ es $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $4 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 4 y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 y = 4 y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $4 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $4 x y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $4 x y$ por $N$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{4 x y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $y$ de $2 y - 1 \cdot 4 y$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 4 y}{4 x y}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $- 1 \cdot 4 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)}{4 x y}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{y (2 - 1 \cdot 4)}{4 x y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{y (2 - 4)}{4 x y}$

Paso 4.3.2.3

Resta $4$ de $2$ .

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{4 x}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 x}$

Paso 4.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)}$

Paso 4.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)}$

Paso 4.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2 x}$

Paso 4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Paso 5.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 5.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.4

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

Paso 5.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- \frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

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Paso 5.5.1.1

Reordena $\ln (| x |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| x |))} + C$

Paso 5.5.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Paso 5.5.2

Simplifica $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

Paso 5.5.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

Paso 5.5.4

Multiplica los exponentes en ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.5.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

Paso 5.5.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

Paso 5.5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 5.5.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $4 x y$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 6.4.1

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + x y \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Paso 6.4.2

Combina $x$ y $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Paso 6.4.3

Combina $y$ y $\frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{y (x \cdot 4)}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Paso 6.5

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x \cdot 4) x^{- \frac{1}{2}} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.6.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 6.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.6.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 y x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y x^{\frac{1}{2}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $4 x^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4 x^{\frac{1}{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \int y d y$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{1}{2}} \frac{4}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.2

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{4}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.4

Multiplica $4$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.5

Factoriza $2$ de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.6.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.6.4

Divide $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ con respecto a $x$ es $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.9

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$y^{2} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.10

Combina $y^{2}$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y^{2} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.13

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.14

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Simplifica $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 12.1.1.1

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.1.3

Combina los términos opuestos en $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

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Paso 12.1.1.1.3.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.1.3.2

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1.2.2.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{2}} x^{2}) = 0$

Paso 12.1.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1.2.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{3}{2}} = 0$

Paso 12.1.2

Suma $x^{\frac{3}{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $x^{\frac{3}{2}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 13.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$g (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 15.2

Reordena los factores en $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$