Cálculo Ejemplos

$2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ por $2 x^{3}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ por $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Paso 1.2

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$

Paso 1.2.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Paso 1.3

Divide $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide la fracción $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Paso 1.4

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Paso 1.4.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Paso 1.5

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Paso 1.5.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica $(\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Paso 6.1.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Paso 6.1.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.3.1

Multiplica $V$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot V^{2} + \frac{3}{2}) V$

Paso 6.1.1.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{V^{2}}{2} + \frac{3}{2}) V$

Paso 6.1.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{2} V + \frac{3}{2} V$

Paso 6.1.1.1.5

Multiplica $\frac{V^{2}}{2} V$ .

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Paso 6.1.1.1.5.1

Combina $\frac{V^{2}}{2}$ y $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V}{2} + \frac{3}{2} V$

Paso 6.1.1.1.5.2

Multiplica $V^{2}$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1.5.2.1

Multiplica $V^{2}$ por $V$ .

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Paso 6.1.1.1.5.2.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V^{1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Paso 6.1.1.1.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2 + 1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Paso 6.1.1.1.5.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3}{2} V$

Paso 6.1.1.1.6

Combina $\frac{3}{2}$ y $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2}$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Combina $- V$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - 2 V}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.7

Resta $2 V$ de $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + V}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.8

Factoriza $V$ de $V^{3} + V$ .

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Paso 6.1.1.3.3.8.1

Factoriza $V$ de $V^{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.8.2

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V^{1}}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.8.3

Factoriza $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V \cdot 1}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.8.4

Factoriza $V$ de $V \cdot V^{2} + V \cdot 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V^{2} + 1)}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.10

Combinar.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1) \cdot 1}{2 x}$

Paso 6.1.1.3.3.11

Multiplica $V$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{V (V^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V^{2} + 1)} \cdot \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Combinar.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Paso 6.1.3.2

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Paso 6.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Paso 6.1.3.3

Cancela el factor común de $V^{2} + 1$ .

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Paso 6.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Paso 6.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 6.2.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $V (V^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.2.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $V^{2} + 1$ .

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Paso 6.2.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.5.1

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.2.2.1.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.5.1.2

Divide $A (V^{2} + 1)$ por $1$ .

$1 = A (V^{2} + 1) + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A V^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.5.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.5.4

Cancela el factor común de $V^{2} + 1$ .

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Paso 6.2.2.1.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.5.4.2

Divide $(B V + C) (V)$ por $1$ .

$1 = A V^{2} + A + (B V + C) (V)$

Paso 6.2.2.1.1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A V^{2} + A + B V \cdot V + C V$

Paso 6.2.2.1.1.5.6

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1.5.6.1

Mueve $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B (V \cdot V) + C V$

Paso 6.2.2.1.1.5.6.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B V^{2} + C V$

Paso 6.2.2.1.1.6

Mueve $A$ .

$1 = A V^{2} + B V^{2} + C V + A$

Paso 6.2.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $V^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 6.2.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $V$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 6.2.2.1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $V$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 6.2.2.1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Paso 6.2.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Paso 6.2.2.1.3.2

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Paso 6.2.2.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.2.1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 6.2.2.1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 6.2.2.1.3.4

Resuelve $B$ en $0 = 1 + B$ .

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Paso 6.2.2.1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 6.2.2.1.3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 6.2.2.1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Paso 6.2.2.1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Paso 6.2.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- 1 V + 0}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.5

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{V} + \frac{(- 1) \cdot V + 0}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.5.2.1

Reescribe $- 1 V$ como $- V$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V + 0}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.5.2.2

Suma $- V$ y $0$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V}{V^{2} + 1}$

Paso 6.2.2.1.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{V} - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.3

La integral de $\frac{1}{V}$ con respecto a $V$ es $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $V$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.5

Sea $u = V^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 V d V$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.5.1

Deja $u = V^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.5.1.1

Diferencia $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Paso 6.2.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $V^{2} + 1$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$2 V + 0$

Paso 6.2.2.5.1.5

Suma $2 V$ y $0$ .

$2 V$

Paso 6.2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.6

Simplifica.

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Paso 6.2.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.9

Simplifica.

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.11

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{4})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Paso 8

Resuelve $- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 8.1

Simplifica las expresiones en la ecuación.

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Paso 8.1.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.1.1

Combina $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Paso 8.1.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| x |)$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Paso 8.2

Multiplica cada término en $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ por $2$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2}$ al numerador.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 8.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 8.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 8.2.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| \frac{y}{x} |)$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 8.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C \cdot 2$

Paso 8.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + 2 C$

Paso 8.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Paso 8.4

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Paso 8.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.5.1

Simplifica $- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |)$ .

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Paso 8.5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| \frac{y}{x} |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({| \frac{y}{x} |}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Paso 8.5.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| \frac{y}{x} |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({(\frac{y}{x})}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Paso 8.5.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}}) - \ln (| x |) = 2 C$

Paso 8.5.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{\frac{y^{2}}{x^{2}}}{| x |}) = 2 C$

Paso 8.5.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = 2 C$

Paso 8.5.1.3.2

Combinar.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Paso 8.5.1.3.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Paso 8.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})} = e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}$

Paso 8.7

Reescribe $\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)} = \frac{y^{2}}{x^{2} | x |}$

Paso 8.8

Resuelve $y$

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Paso 8.8.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Paso 8.8.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 8.8.2.1

Expande $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ ; para ello, mueve $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ fuera del logaritmo.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Paso 8.8.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Paso 8.8.2.3

Multiplica $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ por $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Paso 8.8.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) - \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = - 2 C$

Paso 8.8.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |}{\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}}) = - 2 C$

Paso 8.8.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (\frac{x^{2} | x |}{y^{2}})) = - 2 C$

Paso 8.8.6

Multiplica $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | \frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

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Paso 8.8.6.1

Combina $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |$ y $\frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (x^{2} | x |)}{y^{2}}) = - 2 C$

Paso 8.8.6.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (\frac{x^{2} | (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Paso 8.8.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.8.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Paso 8.8.7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.8.7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Paso 8.8.7.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Paso 8.8.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Paso 8.8.7.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Paso 8.8.8

Expande el lado izquierdo.

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Paso 8.8.8.1

Expande $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ ; para ello, mueve $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ fuera del logaritmo.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Paso 8.8.8.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Paso 8.8.8.3

Multiplica $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ por $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$