Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 10 - x$ , $y (0) = - 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (10 - x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 10 - x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 10 - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 10 d x + \int - x d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} + \int - x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y + C_{1} = 10 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $- 1$ por $y$ en $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ .

$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Paso 4.2

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $10$ por $0$ .

$0 + 0 + K = - 1$

Paso 4.2.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + K$ .

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + K = - 1$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = - 1$

Paso 5

Sustituye $- 1$ por $K$ en $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 1$ por $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x - 1$

Paso 5.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 10 x - 1$