Cálculo Ejemplos

$7 y \frac{d y}{d x} = 2 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$7 y d y = 2 x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 7 y d y = \int 2 x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $y$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int y d y = \int 2 x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 2 x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{7}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2}) = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{7}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 y^{2}}{2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Combinar.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{7} (\frac{2 x^{3}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{7} \cdot \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2}{7} K$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combinar.

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{7 \cdot 3} + \frac{2}{7} K$

Paso 3.2.2.1.1.4

Combina $\frac{2}{7}$ y $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{7 \cdot 3} + \frac{2 K}{7}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{7 \cdot 3} + \frac{2 K}{7}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}$

Paso 3.2.2.1.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $\frac{2 K}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $21$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{2 K}{7}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K \cdot 3}{7 \cdot 3}}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K \cdot 3}{21}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3} + 2 K \cdot 3}{21}}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

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Paso 3.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{21}}$

Paso 3.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{21}}$

Paso 3.4.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K \cdot 3)}{21}}$

Paso 3.4.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{21}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{21}}$ como $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$

Paso 3.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ por $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Paso 3.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ por $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Paso 3.4.7.2

Eleva $\sqrt{21}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}}$

Paso 3.4.7.3

Eleva $\sqrt{21}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}}$

Paso 3.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Paso 3.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

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Paso 3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{1}}$

Paso 3.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21}$

Paso 3.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K) \cdot 21}}{21}$

Paso 3.4.8.2

Multiplica $21$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + K)}}{21}$