Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\cos^{2} (y)$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\cos^{2} (y)$ de $\cos (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ a $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.2

Como la derivada de $\tan (y)$ es $\sec^{2} (y)$ , la integral de $\sec^{2} (y)$ es $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sin (x) + K = \tan (y)$ .

$\sin (x) + K = \tan (y)$

Paso 3.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

Paso 3.4

Reescribe la ecuación como $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ .

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Paso 3.5

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $\tan (y)$ del interior del arcoseno.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Paso 3.6

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Paso 3.7

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la tangente.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Paso 3.8

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Paso 3.9

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $\tan (y)$ del interior del arcoseno.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Paso 3.10

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Paso 3.11

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la tangente.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Paso 4

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $\frac{π}{4}$ por $y$ en $y = \arctan (\sin (x) + K)$ .

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ .

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

Paso 5.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $K$ del interior de seno.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Paso 5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Simplifica $\sin (0) + K$ .

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Paso 5.3.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Paso 5.3.1.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Paso 5.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{π}{4})$ .

$K = 0.90333911$

Paso 5.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Paso 5.6

Resuelve $K$

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Paso 5.6.1

Elimina los paréntesis.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

Paso 5.6.2

Elimina los paréntesis.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Paso 5.6.3

Resta $0.90333911$ de $3.14159265$ .

$K = 2.23825354$

Paso 5.7

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ sea verdadera.

$No hay solución$