Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 1.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 1.2

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Paso 1.2.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Paso 1.3

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} \frac{y}{x}$

Paso 1.3.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Paso 1.4

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Paso 1.4.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1.1.1

Mueve $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V) V$

Paso 6.1.1.1.1.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{2} V$

Paso 6.1.1.1.2

Multiplica $V^{2}$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1.2.1

Mueve $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.2

Multiplica $V$ por $V^{2}$ .

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Paso 6.1.1.1.2.2.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V^{1} V^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{1 + 2}$

Paso 6.1.1.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{3}$

Paso 6.1.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $V^{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{3}}{2}$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{V^{3}}{2} - V$

Paso 6.1.1.2.2

Combina los términos opuestos en $V + \frac{V^{3}}{2} - V$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + 0$

Paso 6.1.1.2.2.2

Suma $\frac{V^{3}}{2}$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Combinar.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{2 x}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Multiplica $V^{3}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2 x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{V^{3}}$ .

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{2 x}$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Combinar.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Paso 6.1.3.2

Cancela el factor común de $V^{3}$ .

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Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Paso 6.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{V^{3}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1

Mueve $V^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(V^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $V^{- 3}$ con respecto a $V$ es $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.2.2.3.1

Reescribe $- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{V^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 6.3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 V^{2}, 1, 1$

Paso 6.3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 V^{2}$

Paso 6.3.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $2 V^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $2 V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 V^{2}$ .

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Paso 6.3.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 V^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = 2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.3.1.2

Simplifica $2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- 1 = \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.3.1.3

Multiplica los exponentes en ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.3.3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.3.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- 1 = \ln ({| x |}^{1}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.3.1.4

Simplifica.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + C (2 V^{2})$

Paso 6.3.3.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$

Paso 6.3.3.3.2

Reordena los factores en $\ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$ .

$- 1 = V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$

Paso 6.3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.3.4.1

Reescribe la ecuación como $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$ .

$V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$

Paso 6.3.4.2

Factoriza $V^{2}$ de $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$ .

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Paso 6.3.4.2.1

Factoriza $V^{2}$ de $2 C V^{2}$ .

$V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C) = - 1$

Paso 6.3.4.2.2

Factoriza $V^{2}$ de $V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C)$ .

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$

Paso 6.3.4.3

Divide cada término en $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ por $\ln (| x |) + 2 C$ y simplifica.

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Paso 6.3.4.3.1

Divide cada término en $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ por $\ln (| x |) + 2 C$ .

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Paso 6.3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $\ln (| x |) + 2 C$ .

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Paso 6.3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Paso 6.3.4.3.2.1.2

Divide $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Paso 6.3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V^{2} = - \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Paso 6.3.4.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Paso 6.3.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.