Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x e^{y}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combinar.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{x e^{y}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x}$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$e^{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Paso 2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$e^{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$e^{y} = 4 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Paso 3.3

Expande $\ln (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$y = \ln (4 \ln (x) + C)$

Paso 3.4

Simplifica $4 \ln (x)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$