Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $2 - 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $2 - 2 y$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) - 2 y}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- y)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$

Paso 1.2.2

Multiplica $2 - 2 y$ por $\frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 - 2 y) (x^{2} + 1)}{2 (1 - y)}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $2 - 2 y$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $2$ de $(2 - 2 y) (x^{2} + 1)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Paso 1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Paso 1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Paso 1.2.4.2

Divide $x^{2} + 1$ por $1$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(2 - 2 y) d y = (x^{2} + 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 d y + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la constante.

$2 y + C_{1} + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$2 y + C_{1} - 2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica.

$2 y - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

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Paso 2.2.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 y + \frac{- 2}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.2.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 y + \frac{- 1}{1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.5.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$2 y - y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2.6

Reordena los términos.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Paso 3.2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $\frac{x^{3}}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} = x + K$

Paso 3.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x = K$

Paso 3.2.3

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x - K = 0$

Paso 3.3

Multiplica por el mínimo común denominador $3$ , luego simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- y^{2}) + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{3}}{3}$ al numerador.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.3.2

Cancela el factor común.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.3.3

Reescribe la expresión.

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x - 3 K = 0$

Paso 3.3.3

Mueve $- 3 x$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 K - 3 x = 0$

Paso 3.3.4

Mueve $6 y$ .

$- 3 y^{2} - x^{3} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Paso 3.3.5

Reordena $- 3 y^{2}$ y $- x^{3}$ .

$- x^{3} - 3 y^{2} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = - 3$ , $b = 6$ y $c = - x^{3} - 3 K - 3 x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.4

Simplifica.

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Paso 3.6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.4.2

Multiplica $- 3$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.4.3

Multiplica $- 3$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5

Factoriza $12$ de $36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x$ .

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Paso 3.6.1.5.1

Factoriza $12$ de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.2

Factoriza $12$ de $- 12 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.3

Factoriza $12$ de $- 36 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.4

Factoriza $12$ de $- 36 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.5

Factoriza $12$ de $12 (3) + 12 (- x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.6

Factoriza $12$ de $12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.7

Factoriza $12$ de $12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.6

Reescribe $12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)$ como $2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))$ .

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Paso 3.6.1.6.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.6.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$