Cálculo Ejemplos

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 8 x - 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x - 9 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Como $8 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 9 y$ con respecto a $y$ es $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

Paso 1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.3.8.1

Multiplica $8 x - 9 y$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

Paso 1.3.8.2

Resta $9 y$ de $- 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x (x - 3 y)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Como $- 3 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

Paso 2.4.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.4.6.1

Multiplica $x - 3 y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

Paso 2.4.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $8 x - 18 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $4 x - 6 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $8 x - 18 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $4 x - 6 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $2 x (x - 3 y)$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 x (x - 3 y)$ por $N$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $- 1$ de $8 x$ .

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 18 y$ .

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 8 x) - (18 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.2.5

Reescribe $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ como $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.2.6

Factoriza $2$ de $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.2.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.7.1

Factoriza $2$ de $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Paso 4.3.2.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Paso 4.3.2.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.1

Suma $- 4 x$ y $2 x$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.3.2

Resta $3 y$ de $9 y$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $2$ de $- 2 x + 6 y$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.3.3.2

Factoriza $2$ de $6 y$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (3 y)$ .

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $- x + 3 y$ y $x - 3 y$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.4.2

Factoriza $- 1$ de $3 y$ .

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (- 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $- (x - 3 y)$ como $- 1 (x - 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Paso 4.3.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

Paso 4.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Paso 5.4.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y (8 x - 9 y)$ por $x^{2}$ .

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $y$ .

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.8

Multiplica $2 x (x - 3 y)$ por $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

Paso 6.9

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.9.1

Mueve $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.9.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.9.3

Suma $2$ y $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

Paso 6.10

Aplica la propiedad distributiva.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Paso 6.11

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.11.1

Mueve $x$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Paso 6.11.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 6.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Paso 6.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Paso 6.11.3

Suma $1$ y $3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Paso 6.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

Paso 6.13

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Paso 8.2

Dado que $8 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Paso 8.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Paso 8.4

Dado que $- 9 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 9 y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

Paso 8.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 8.6

Simplifica.

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 8.7

Simplifica.

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Paso 8.7.1

Combina $8$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 8.7.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 8.7.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 8.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.7.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 8.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 8.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 8.7.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 8.7.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Paso 8.7.4

Combina $- 9$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

Paso 8.7.5

Combina $y^{2}$ y $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

Paso 8.7.6

Cancela el factor común de $- 9$ y $3$ .

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Paso 8.7.6.1

Factoriza $3$ de $y^{2} (- 9 x^{3})$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

Paso 8.7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.7.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

Paso 8.7.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Paso 8.7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

Paso 8.7.6.2.4

Divide $y^{2} (- 3 x^{3})$ por $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $2 x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y x^{4}$ con respecto a $y$ es $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ .

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Paso 11.4.1

Como $- 3 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{2} (- 3 x^{3})$ con respecto a $y$ es $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11.4.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 11.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $2 x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

Paso 12.1.2

Suma $6 x^{3} y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ .

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Paso 12.1.3.1

Resta $2 x^{4}$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

Paso 12.1.3.2

Suma $- 6 x^{3} y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

Paso 12.1.3.3

Suma $- 6 x^{3} y$ y $6 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Paso 15

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$