Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 e^{- 2 x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 6 e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 6 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 6 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 6 \int e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3.3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 6$ .

$y + C_{1} = \frac{- 6}{2} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.7.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{1} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u} d u$

Paso 2.3.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 3 (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$y + C_{1} = - 3 e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$y + C_{1} = - 3 e^{- 2 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - 3 e^{- 2 x} + K$