Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 2.3.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = x^{2} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{x^{2} + K}$