Cálculo Ejemplos

$d y = 2 e^{3 x} d x$

Paso 1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 e^{3 x} d x$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 e^{3 x} d x$

Paso 3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int e^{3 x} d x$

Paso 3.2

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.2.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.2.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 3.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Paso 3.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Paso 3.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Paso 3.7

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Paso 3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Paso 4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{3} e^{3 x} + K$