Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (y)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \sec^{2} (y)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\sec^{2} (y)$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \sec^{2} (y)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ como ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.3

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.5

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$\int \cos^{2} (y) d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (y)$ como $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int d x$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int d x$

Paso 2.2.6

Sea $u = 2 y$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.6.1

Deja $u = 2 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.6.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.2.6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.2.6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2.6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int d x$

Paso 2.2.7

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int d x$

Paso 2.2.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int d x$

Paso 2.2.9

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int d x$

Paso 2.2.10

Simplifica.

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.12

Simplifica.

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Paso 2.2.12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 y)$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.12.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.12.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Paso 2.2.12.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.12.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.13

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = x + K$