Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sin (x)$ , $y (0) = 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \sin (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sin (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \cos (x) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $5$ por $y$ en $y = - \cos (x) + K$ .

$5 = - \cos (0) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \cos (0) + K = 5$ .

$- \cos (0) + K = 5$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 5$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + K = 5$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 5 + 1$

Paso 4.3.2

Suma $5$ y $1$ .

$K = 6$

Paso 5

Sustituye $6$ por $K$ en $y = - \cos (x) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $6$ por $K$ .

$y = - \cos (x) + 6$