Cálculo Ejemplos

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x^{2} y + 2 y + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y + 2 y + 5]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} y + 2 y + 5$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{2} y$ con respecto a $y$ es $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $2 x^{2} + 2$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x^{3} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2 x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $2 x^{2} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $6 x^{2} + 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $2 x^{2} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $6 x^{2} + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $2 x^{3} + 2 x$ por $N$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye $2 x^{3} + 2 x$ por $N$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{2 x^{3} + 2 x}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2}) - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Paso 4.3.2.4

Resta $6 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Paso 4.3.2.5

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0}{2 x^{3} + 2 x}$

Paso 4.3.2.6

Suma $- 4 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{3} + 2 x}$

Paso 4.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2} + 1)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 x (x^{2} + 1)}$

Paso 4.3.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Paso 4.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Paso 4.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Paso 4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Paso 4.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 4.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Paso 5.4

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 5.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 5.4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 5.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Paso 5.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Paso 5.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Paso 5.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 5.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Paso 5.9

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Paso 5.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 1 |)} + C$

Paso 5.11

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.11.1

Simplifica $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 1 |}^{- 1})} + C$

Paso 5.11.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 1 |}^{- 1} + C$

Paso 5.11.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 1 |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica $2 x^{2} y + 2 y + 5$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) \frac{1}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $2 x^{2} y + 2 y + 5$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $2 x^{3} + 2 x$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) \frac{1}{x^{2} + 1} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $2 x^{3} + 2 x$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Paso 6.5

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Paso 6.5.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Paso 6.6.2

Divide $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + 2 x d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 2 x$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 x y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 11.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Paso 12.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.1

Divide la fracción $\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$ en dos fracciones.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Paso 12.1.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.2.1

Factoriza $2 y$ de $2 x^{2} y + 2 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.2.1.1

Factoriza $2 y$ de $2 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Paso 12.1.2.2.1.2

Factoriza $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y (1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Paso 12.1.2.2.1.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (x^{2}) + 2 y (1)$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Paso 12.1.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Paso 12.1.2.2.2.2

Divide $2 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.3.1

Resta $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \frac{5}{x^{2} + 1}$

Paso 12.1.3.2

Suma $0$ y $\frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $\frac{5}{x^{2} + 1}$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Paso 13.3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$g (x) = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 13.4

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 13.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 13.6

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$g (x) = 5 (\arctan (x) + C)$

Paso 13.7

Simplifica.

$g (x) = 5 \arctan (x) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + 5 \arctan (x) + C$