Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y = 1$ , $y = e^{x} - 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$y' - y = 1$

Paso 2

Obtén $y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} - 1)$

Paso 2.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} + 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$e^{x}$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = e^{x}$

Paso 3

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$e^{x} - (e^{x} - 1) = 1$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} - e^{x} - - 1 = 1$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} - e^{x} + 1 = 1$

Paso 4.2

Resta $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$0 + 1 = 1$

Paso 4.3

Suma $0$ y $1$ .

$1 = 1$

Paso 5

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = e^{x} - 1$ es una solución para $y' - y = 1$