Cálculo Ejemplos

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{2} + x y^{3}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + x y^{3}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + x y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y^{3}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x (3 y^{2})$

Paso 1.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x y^{2}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x + 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Paso 2.2.2

Como $5 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Paso 2.4

Como $y^{3} \sin (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3} \sin (y)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + 0$

Paso 2.5

Combina los términos.

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Paso 2.5.1

Resta $y$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 0$

Paso 2.5.2

Suma $- y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 y^{2} x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} x + 2 y = - y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $3 y^{2} x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y^{2} + x y^{3}$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y^{2} + x y^{3}$ por $M$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- y - (3 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Paso 4.3.2.4

Resta $2 y$ de $- y$ .

$\frac{- 3 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Paso 4.3.2.5

Factoriza $3 y$ de $- 3 y^{2} x - 3 y$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Factoriza $3 y$ de $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{3 y (- y x) - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Paso 4.3.2.5.2

Factoriza $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{3 y (- y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Paso 4.3.2.5.3

Factoriza $3 y$ de $3 y (- y x) + 3 y (- 1)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Paso 4.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} + x y^{3}$ .

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Paso 4.3.3.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{3}$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} (1 + x y)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $y$ de $3 y (- y x - 1)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y^{2} (1 + x y)}$

Paso 4.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.4.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2} (1 + x y)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Paso 4.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Paso 4.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (- y x - 1)}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.5

Reordena los términos.

$\frac{3 (- x y - 1)}{y (x y + 1)}$

Paso 4.3.6

Cancela el factor común de $- x y - 1$ y $x y + 1$ .

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Paso 4.3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- x y$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1)}{y (x y + 1)}$

Paso 4.3.6.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1 (1))}{y (x y + 1)}$

Paso 4.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (x y) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Paso 4.3.6.4

Reescribe $- (x y + 1)$ como $- 1 (x y + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Paso 4.3.6.5

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Paso 4.3.6.6

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Paso 4.3.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Paso 4.3.8

Sustituye $y^{2} + x y^{3}$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 3 \ln (| y |)$ al mover $- 3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Paso 5.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y^{2} + x y^{3}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y^{2} + x y^{3}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} + x y^{3}$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Paso 6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 6.7.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 \frac{1}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.2

Combina $5$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.7.3.1

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.3.2

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x \frac{1}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.4

Combina $\frac{1}{y^{2}}$ y $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.5

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 6.7.5.1

Factoriza $y^{3}$ de $y^{3} \sin (y)$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} (\sin (y)) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Paso 6.7.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Paso 8.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Paso 8.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Paso 8.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Paso 8.5

Combina $\frac{1}{y}$ y $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Paso 8.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 8.7

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.4

Como $\frac{1}{2} x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.6.2

Combina los términos.

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Paso 11.6.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.6.2.2

Suma $- \frac{x}{y^{2}}$ y $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 11.6.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{5}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} = - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Paso 12.1.1.2

Suma $\frac{x}{y^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} = \sin (y)$

Paso 12.1.1.3

Resta $\sin (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y) = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y)$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Suma $- \frac{x}{y^{2}}$ y $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} + 0 - \sin (y) = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Suma $\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} - \sin (y) = 0$

Paso 12.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.2.1

Suma $\frac{5}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \sin (y) = \frac{5}{y}$

Paso 12.1.2.2

Suma $\sin (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $\frac{5}{y} + \sin (y)$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int \frac{5}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Paso 13.4

Dado que $5$ es constante con respecto a $y$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$g (y) = 5 \int \frac{1}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Paso 13.5

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) + \int \sin (y) d y$

Paso 13.6

La integral de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \cos (y)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) - \cos (y) + C$

Paso 13.7

Simplifica.

$g (y) = 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Paso 15.2

Simplifica $5 \ln (| y |)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{5}) - \cos (y) + C$