Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sec (y)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (2 x \sec (y))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sec (y)} x \sec (y)$

Paso 1.2.2

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} x \sec (y)$

Paso 1.2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (1 \cos (y)) x \sec (y)$

Paso 1.2.4

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) x \sec (y)$

Paso 1.2.5

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.1

Agrega paréntesis.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) (x \sec (y))$

Paso 1.2.5.2

Agrega paréntesis.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (\cos (y) (x \sec (y)))$

Paso 1.2.5.3

Reordena $\cos (y)$ y $x \sec (y)$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \sec (y) \cos (y))$

Paso 1.2.5.4

Agrega paréntesis.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\sec (y) \cos (y)))$

Paso 1.2.5.5

Reescribe $2 \cos (y) x \sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\frac{1}{\cos (y)} \cos (y)))$

Paso 1.2.5.6

Cancela los factores comunes.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot 1)$

Paso 1.2.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int 1 \cos (y) d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\sin (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\sin (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\sin (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\sin (y) = x^{2} + K$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (x^{2} + K)$