Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y - x y + 3 y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y - x y + 3 y$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} - x y + 3 y$

Paso 1.1.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + 3 y$

Paso 1.1.3

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + y \cdot 3$

Paso 1.1.4

Factoriza $y$ de $y x^{2} + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x) + y \cdot 3$

Paso 1.1.5

Factoriza $y$ de $y (x^{2} - x) + y \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x + 3)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 3$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} - x + 3) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - x + 3 d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} - x + 3 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - \int x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

Paso 3.3.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$ como $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$