Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$