Cálculo Ejemplos

$(1 + y e^{x y}) d x + (2 y + x e^{x y}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y e^{x y}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y e^{x y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

Paso 1.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1$

Paso 1.3.7

Multiplica $e^{x y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Suma $0$ y $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Paso 1.4.3

Reordena los factores en $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 y + x e^{x y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{x y}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + x e^{x y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Paso 2.2.2

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

Paso 2.3.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

Paso 2.3.7

Multiplica $e^{x y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $0$ y $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Paso 2.4.3

Reordena los factores en $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x y e^{x y} + e^{x y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $x y e^{x y} + e^{x y}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y e^{x y} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int d x + \int y e^{x y} d x$

Paso 5.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x + C + \int y e^{x y} d x$

Paso 5.3

Dado que $y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{x y} d x$

Paso 5.4

Sea $u = x y$ . Entonces $d u = y d x$ , de modo que $\frac{1}{y} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.4.1

Deja $u = x y$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.4.1.1

Diferencia $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Paso 5.4.1.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$y$

Paso 5.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$f (x, y) = x + C + y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

Paso 5.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = x + C + y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

Paso 5.6

Dado que $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x + C + y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $\frac{1}{y}$ y $y$ .

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Paso 5.7.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = x + C + 1 \int e^{u} d u$

Paso 5.7.3

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$f (x, y) = x + C + \int e^{u} d u$

Paso 5.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$f (x, y) = x + C + e^{u} + C$

Paso 5.9

Simplifica.

$f (x, y) = x + e^{u} + C$

Paso 5.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + e^{x y} + g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + e^{x y} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

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Paso 8.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 8.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$0 + e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.3.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.3.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$0 + e^{x y} x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Suma $0$ y $e^{x y} x$ .

$e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x = 2 y + x e^{x y}$

Paso 8.5.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} + e^{x y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} = 2 y + x e^{x y}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x e^{x y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $x e^{x y}$ de $x e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $2 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Paso 10.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Paso 10.5.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + y^{2} + C$