Cálculo Ejemplos

$a^{2} d x = x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y = a^{2} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x \sqrt{x^{2} a^{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Reescribe $x^{2} a^{2}$ como ${(x a)}^{2}$ .

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{{(x a)}^{2}}} a^{2} d x$

Paso 3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$1 d y = \frac{1}{x \cdot x a} a^{2} d x$

Paso 3.2.3

Combina exponentes.

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Paso 3.2.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x a} a^{2} d x$

Paso 3.2.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x^{1} a} a^{2} d x$

Paso 3.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 d y = \frac{1}{x^{1 + 1} a} a^{2} d x$

Paso 3.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{2} a} a^{2} d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $a$ de $x^{2} a$ .

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} a^{2} d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $a$ de $a^{2}$ .

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$1 d y = \frac{1}{x^{2}} a d x$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $a$ .

$1 d y = \frac{a}{x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $a$ es constante con respecto a $x$ , mueve $a$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = a \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = a \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = a \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = a \int x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = a (- x^{- 1} + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.3.4.1

Reescribe $a (- x^{- 1} + C_{2})$ como $a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Paso 4.3.4.2

Combina $a$ y $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = - \frac{a}{x} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{a}{x} + K$