Cálculo Ejemplos

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{2} - x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x - y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x + 2 y = 2 x - y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- x + 2 y = 2 x - y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x - y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x^{2} - x y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x^{2} - x y$ por $N$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- - y$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.2.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.2.4

Resta $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.2.5

Suma $2 y$ y $y$ .

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.2.6

Factoriza $3$ de $- 3 x + 3 y$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.2.6.2

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.2.6.3

Factoriza $3$ de $3 (- x) + 3 (y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

Paso 4.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - x y$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

Paso 4.3.3.1.2

Factoriza $x$ de $- x y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Paso 4.3.3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $- x + y$ y $x - y$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

Paso 4.3.4.2

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

Paso 4.3.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Paso 4.3.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Paso 4.3.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Paso 4.3.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Paso 4.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Paso 5.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 3 \ln (| x |)$ al mover $- 3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Paso 5.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y^{2} - x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y^{2} - x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $y$ de $y^{2} - x y$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y (- x)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $x^{2} - x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x^{2} - x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

Paso 6.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - x y$ .

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Paso 6.6.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

Paso 6.6.1.2

Factoriza $x$ de $- x y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Paso 6.6.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Paso 6.6.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

Paso 6.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.7.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Paso 6.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Paso 6.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $\frac{1}{x^{2}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{x^{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

Paso 8.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

Paso 8.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

Paso 8.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

Paso 8.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Paso 8.6

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 11.2.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ .

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Paso 11.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ y $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - \frac{y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.5

Como $- \frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.6

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 11.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.9

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.10

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.11

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.12

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 11.3.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.12.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.16

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.17

Para escribir $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.19

Multiplica $x^{- 3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.19.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.3.19.3

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3

Combina los términos.

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Paso 11.5.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.3

Combina $x$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.4

Combina $y$ y $\frac{x \cdot 2}{x}$ .

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 11.5.3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.7.2

Divide $2 y$ por $1$ .

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.9

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.12

Multiplica $\frac{y^{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.13

Multiplica $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.14

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.5.3.15.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.15.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.16

Resta $2 y$ de $y$ .

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.17

Multiplica $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.18

Combinar.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.19

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.20

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 11.5.3.20.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.20.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.21

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.5.3.21.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 11.5.3.21.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.21.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.21.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.22

Para escribir $\frac{d g}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 11.5.4

Reordena los términos.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Paso 12.1.2

Simplifica $y (y - x)$ .

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Paso 12.1.2.1

Reescribe.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

Paso 12.1.2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Paso 12.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

Paso 12.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1.2.4.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

Paso 12.1.2.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

Paso 12.1.3

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.3.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

Paso 12.1.3.2

Suma $x y$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

Paso 12.1.3.3

Combina los términos opuestos en $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ .

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Paso 12.1.3.3.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

Paso 12.1.3.3.2

Suma $- y x$ y $0$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

Paso 12.1.3.3.3

Reordena los factores en los términos $- y x$ y $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

Paso 12.1.3.3.4

Suma $- x y$ y $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

Paso 12.1.4

Divide cada término en $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 12.1.4.1

Divide cada término en $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Paso 12.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 12.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Paso 12.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

Paso 12.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1.4.3.1

Divide $0$ por $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

Paso 15.2

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Paso 15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 15.3.1

Factoriza $y$ de $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

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Paso 15.3.1.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Paso 15.3.1.2

Factoriza $y$ de $- \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Paso 15.3.1.3

Factoriza $y$ de $y x + y (- \frac{y}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Paso 15.3.2

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Paso 15.3.3

Combina $x$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Paso 15.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

Paso 15.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

Paso 15.4

Combina $y$ y $\frac{2 x - y}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

Paso 15.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 15.6

Combinar.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

Paso 15.7

Multiplica $y$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$