Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y + 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $3 y + 1$ .

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $3 y + 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(3 y + 1) d y = 4 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 3 y + 1 d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Paso 2.2.5.3

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y = 2 x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} + y = 2 x^{2} + K$

Paso 3.2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} = K$

Paso 3.2.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} - K = 0$

Paso 3.3

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} - 2 K = 0$

Paso 3.3.3

Mueve $2 y$ .

$3 y^{2} - 4 x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Paso 3.3.4

Reordena $3 y^{2}$ y $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 2$ y $c = - 4 x^{2} - 2 K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 (- 4 x^{2}) - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.6

Factoriza $4$ de $4 + 48 x^{2} + 24 K$ .

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Paso 3.6.1.6.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.6.2

Factoriza $4$ de $48 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.6.3

Factoriza $4$ de $24 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.6.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (12 x^{2})$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.7

Reescribe $4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)$ como $2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)$ .

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Paso 3.6.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.7.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + K}}{3}$